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Semester 1/LINALG/LINALG.md

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+- [[#Grundvorgang|Grundvorgang]]
+- [[#Besprochene Themen|Besprochene Themen]]
+- [[#Durchführung|Durchführung]]
+	- [[#Durchführung#Gleichungen|Gleichungen]]
+		- [[#Gleichungen#Lineare Gleichungen|Lineare Gleichungen]]
+		- [[#Gleichungen#Quadratische Ergänzung|Quadratische Ergänzung]]
+		- [[#Gleichungen#Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$|Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$]]
+		- [[#Gleichungen#Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$|Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$]]
+		- [[#Gleichungen#Gauß-Verfahren|Gauß-Verfahren]]
+		- [[#Gleichungen#Äquivalente Umformung|Äquivalente Umformung]]
+	- [[#Durchführung#Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems|Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems]]
+	- [[#Durchführung#Vektoralgebra|Vektoralgebra]]
+		- [[#Vektoralgebra#Definition|Definition]]
+		- [[#Vektoralgebra#Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren|Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren]]
+		- [[#Vektoralgebra#Vektoroperationen|Vektoroperationen]]
+			- [[#Vektoroperationen#Skalarprodukt|Skalarprodukt]]
+			- [[#Vektoroperationen#Winkel zwischen zwei Vektoren|Winkel zwischen zwei Vektoren]]
+		- [[#Vektoralgebra#Vektornormierung|Vektornormierung]]
+		- [[#Vektoralgebra#Vektorprojektion|Vektorprojektion]]
+
+
+# Klausurvorbereitung
+Ziel der Vorbereitung ist nicht die Vollständigkeit abzudecken, sondern eher alle Themen kurz anzusprechen und später erneut zu vertiefen.
+## Grundvorgang 
+- Vorlesungen kurz ansehen und Aufgaben gruppiert machen
+	- Bei Bedarf mehr als 2-3 Aufgaben pro Thema abarbeiten (Solle mögl. sein, da das Aufgabenheft zur Verfügung steht)
+- (Vertiefung) Lesen der einzelnen neuen Kapitel, welche nicht beim Abitur drankamen (am besten aus anderen Büchern)
+- Beispielklausur noch einmal Durcharbeiten, dieses Mal aber mit einer Zeitlimitierung
+## Besprochene Themen
+Folgende Liste kann unvollständig sein. Behalten Sie dies im Hinterkopf.
+- Gleichungen
+	- Linear
+	- Quadratische
+		- PQ
+	- 🔥Exponentielle und größere
+		- Kubische Gleichungen vom speziellen Typ
+		- Biquadratische Gleichungen
+- Lineare Gleichungen
+	- Lineare Gleichungssysteme
+	- Einführendes Beispiel
+	- 🔥Gauß-Algorithmus
+		- Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystem
+		- Äquivalente Umformung eines lin. Gleichungssystems
+		- Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß
+		- Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
+		- Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
+- 🔥Reele Matrizen
+	- Definition
+	- 🔥Transposition von Matrizen
+	- 🔥Spezielle Matrizen
+		- Diagonalmatrix
+		- Einheitsmatrix
+		- Dreiecksmatrix
+		- Symmetrische Matrix
+	- Gleichheit von Matrizen
+	- Rechenoperationen
+		- Addition/Subtraktion
+		- Multiplikation mit einem Skalar
+		- Multiplikation zweier Matrizen
+			- Falk-Schema
+- 🔥Determinanten
+	- Zweireihige Determinanten
+		- Multiplikationstheorem
+	- Dreireihige Determinanten
+		- Regel von Sarrus
+		- Laplascescher Entwicklungssatz
+- 🔥Lösungsverhalten quad. lin. Gleichungssystem
+	- Inhomogen lineares System
+		- Cramersche Regel
+- 🔥Trigonomische Funktionen
+	- Grundbegriffe
+		- Definition
+		- Winkelmaße
+		- Drehsinn eines Winkels
+		- Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis
+		- Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis
+	- Sinus- und Kosinusfunktion
+	- Tangens- und Kotangensfunktion
+	- Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
+	- Anwendung in der Schwingungslehre
+		- Harmonische Schwingungen (Sinus)
+		- Harmonische Schwingung eines Federpendels
+	- Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
+- 🔥Arkusfunktionen 
+	- Das Problem der Umkehrung trigo. Funktionen
+	- Arkussinusfunktion
+	- Arkuskosinusfunktion
+	- Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
+	- Trigonometrische Gleichungen
+- Exponentialfunktionen
+	- Grundbegriffe
+	- Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
+	- Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktion
+- Logarithmusfunktionen
+	- Grundbegriffe
+	- Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
+	- Exponential- und Logarithmusgleichungen
+- 🔥Komplexe Zahlen und Funktionen
+	- Algebraische oder Kartesische Form
+	- Polarformen
+		- Trigonometrische Form
+		- Exponentialform
+		- Eulersche Form
+	- Umrechnung zwischen Darstellungsformen
+	- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
+	- Multiplikation kompl. Zahlen
+- 🔥Radizieren
+	- Definition
+	- Fundamentalsatz der Algebra
+## Durchführung
+### Gleichungen
+#### Lineare Gleichungen
+- Einsetzungsverfahren
+- Gleichsetzungsverfahren
+- Additionsverfahren
+#### Quadratische Ergänzung
+Anhand der binomischen Formeln kann man eine quadratische Ergänzung durchführen. Es entsteht am Ende ein "quadriertes Binom".
+Beispiel:
+$$
+\begin{align}
+f(x)&=3x^2+6x+7 = 0\\
+f(x)&=x^2+2x+\frac{7}{3} = 0 |-6\\
+f(x)&=(x+1)^2 = -6
+\end{align}
+$$
+#### Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$
+Bei kubischen Gleichungen, in denen das absolute Glied fehlt, lässt sich durch Ausklammern eine lineare und eine quadratische Gleichung erhalten.
+#### Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$
+Über Substitution kann man solche Gleichungen lösen.
+Beispiel:
+$$
+\begin{align}
+x^4-10x^2+9=0 \\
+\text{Substitution } u&=x^2 \\
+u^2-10u+9=0&\Rightarrow u_{1}{2}=5\pm4&\Rightarrow &u_{1}=9,&u_{2}=1 \\
+\text{Rücksubstitution mittels } x^2=u: \\
+x^2=U_{1}&=9&\Rightarrow&x_{1/2}&=\pm{3} \\
+x^2=U_{2}&=9&\Rightarrow&x_{3/4}&=\pm{1}
+\end{align}
+$$
+Die resultierende Lösungsmenge soll natürlich anschließend dokumentiert werden, da die Form jedoch selbsterklärend ist wird diese hier nicht gegeben.
+#### Gauß-Verfahren
+Gegeben sind folgende Gleichungen:
+$$
+\begin{align*}
+I && -x+y+z =0\\
+II && -2y-z=5\\
+III &&6y+9z=3&&|3\cdot II+III\\
+\hline\\
+I && -x+y+z=0\\
+II && -2y-z=5\\
+III && 6z=18&\Leftrightarrow z=3\\
+\dots \\
+\hline\\
+x=-1 && y=-4 &&z=3
+\end{align*}
+$$
+Diese Lösungsform kann ebenfalls als Matrize erscheinen und über Befehle, wie rref gelöst werden.
+#### Äquivalente Umformung
+Unter der "Äquivalenten Umformung" versteht man das Vorher besprochene Beispiel, in dem Gleichungen umgeformt werden um diese dann anschließend zu Lösen.
+### Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
+*inhomogene* Gleichungssysteme besitzen entweder genau eine Lösung, oder *unendlich* viele Lösungen oder aber *überhaupt* keine Lösungen.
+Erkennbar sind solche GS anhand mehrerer Gleichungen mit z.B. dem Fakt dass eine Gleichung das vielfache einer anderen Gleichung sei.
+Ein *homogenes* Gleichungssystem ist stets lösbar die Grundstruktur von diesem ist bekannt, da vorherige Beispiele immer homogen gewesen waren.![[Screenshot 2023-07-14 162823.png]]
+Wenn ein *inhomogenes* Gleichungssystem vorliegt, wird anhand des Hinzufügens des Skalars $\lambda$ eine potentielle Lösung für das *inhomogene* GS mit unendlich vielen Lösungen erstellt. Eine Lösung würde wie folgt aussehen:
+$$
+\begin{align}
+	x+y-2z=0&&\Rightarrow&& x=2\lambda&&\uparrow \\
+	y+0z=0&&\Rightarrow&&y=0&&\uparrow \\
+	0z=0&&\Rightarrow&&z=\lambda&&(\lambda\in\mathbb{R})
+\end{align}
+$$
+Das Anwendungsbeispiel kann man sich gut als Gruppe ansehen.
+___
+### Vektoralgebra
+#### Definition
+"Während man unter einem *Skalar* eine Größe versteht, die sich eindeutig durch eine Angabe einer *Maßzahl* und einer *Maßeinheit* beschreiben lässt, benötigt man bei einer *vektoriellen* Größe zusätzlich noch angaben über die Richtung, in der sie wirkt."
+#### Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren
+- Parallel: $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$
+- Antiparallel: $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$
+- Kollinear: $\lambda\cdot\vec{a}=\vec{b}$
+#### Vektoroperationen
+Bei der Addition zweier Vektoren gelten sowohl das Kommutativ-, als auch das Assoziativgesetz. 
+Die Subtraktion erfolgt nach dem gleichen Prinzip, nur dass man den gegenVektor addiert. Man bildet den sogenannten *Differenzvektor*.
+Die Multiplikation eines Vektors über einen Skalar erfolgt folgendermaßen:
+$$
+\lambda\cdot\vec{a} = \left(
+\begin{array}{c}
+\lambda\cdot a_{x} \\
+\lambda \cdot a_{y} \\
+\lambda \cdot a_{z}
+\end{array}\right)
+$$
+Um eine Vektorlänge zu erhalten benutzt man folgenden Vorgang:
+$$
+\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{P_{1}P_{2}\dots P_{n}}\mid =\sqrt{P_{1}^2+P_{2}^2+\dots P_{n}}
+$$
+##### Skalarprodukt
+"Unter dem *Skalarprodukt*  $\vec{a}\cdot\vec{b}$ zweier Vektoren wird das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ verstanden."
+- Bei Orthogonalität ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich **0**  $\vec{a}\bot\vec{b}$
+- Sind zwei Vektoren parallel, so ist leifert das Skalarprodukt den Wert **1**
+$$
+\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(
+\begin{array}\\
+a_{x} \\
+a_{y} \\
+a_{z}
+\end{array}
+\right) \cdot \left(
+\begin{array} \\
+b_{x} \\
+b_{y} \\
+b_{z}
+\end{array}\right) = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}
+$$
+
+##### Winkel zwischen zwei Vektoren
+Mit folgender Formel lässt sich der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren ermitteln.
+$$
+\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot \mid\vec{b}\mid}
+$$
+ANWENDUNGSBEISPIEL: 2.5 vom 05.05.2023
+#### Vektornormierung
+"Durch *Normierung* erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen *Einheitsvektor gleicher Richtung*"
+$$\vec{e_{a}}=\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$$
+#### Vektorprojektion
+Bei der Projektion eines Vektors teilt man einen Vektor beispielsweise in eine Tangential- und eine Normalkomponente.
+
+"Durch Projektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ entsteht der Vektor
+$$
+\vec{b_{a}}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid^2}
+\right)\vec{a} = (\vec{e_{a}}\cdot\vec{b})\vec{e_{a}}
+$$
+Er wird als *Komponente* des Vektors $\vec{b}$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ bezeichnet."
+#### Vektorprodukt zweier vektoren
+"Unter dem Vektorprodukt $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
+1.  $\vec{c}$ ist sowohl $\vec{a}$ als auch $\vec{b}$ orthogonal: $\vec{c} \cdot\vec{a}=0$ und $\vec{c} \cdot\vec{b}=0$
+2. Der Betrag von $\vec{c}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\varphi$: 
+$$
+\begin{align}
+\mid\vec{c}\mid&=\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \sin \varphi & (0°\leq\varphi\leq 180°)
+\end{align}
+$$
+3. Die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bilden in dieser Reihenfolge einen rechtshändiges System."
+
+**Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren**
+Das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
+$$
+\vec{a}\times\vec{b}=\left(
+\begin{array}\\
+a_{x} \\
+a_{y} \\
+a_{z}
+\end{array}\right)\times
+\left(
+\begin{array}\\
+b_{x} \\
+b_{y} \\
+b_{z}
+\end{array}\right) = \\
+\left(\begin{array}\\
+a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y} \\
+a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z} \\
+a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x}
+\end{array}\right)
+$$
+##### Determinantendarstellung eines Vektorproduktes
+![[Screenshot 2023-07-15 115056.png]]
+Die eine dreireihige Determinante kann nach der *Regel von Sarrus* ermittelt werden. Diese wurde in der Abbildung zum Schluss verwendet.
+
+##### Spatprodukt
+Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor $\vec{a}$ und dem aus den Vektoren gebildeten Vektorprodukt Vektorprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ :
+$$
+[\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\times\vec{c} 
+$$
+#### Geometrisch Deutung eines Spatproduktes
+![[Screenshot 2023-07-15 120529.png]]
+
+
+
+
+
+
+
+
+Hier sind grundlagen aus dem Abitur, welche nicht erwähnt werden. Darunter sind folgende Beispielthemen:
+- Geradendarstellung
+- Ebenendarstellung
+
+### Matrizen
+#### Transponierung einer Matrix
+![[Screenshot 2023-07-15 123157.png]]
+Bei Matrizen kommen ansonsten keine neuen Themen dran, daher ist die Grundlage des Abis ausreichend.
+#### Multiplaktion zweier Matrizen
+![[Pasted image 20230715123337.png]]
+Das ist das sogenannte Falk-Schema.
+
+### Determinanten
+Beim Durchlesen bekam ich eine Krise, daher mache ich das vllt später.
+
+### Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems
+![[Pasted image 20230715130139.png]]
+### Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems
+![[Pasted image 20230715130100.png]]
+### Cramersche Regel
+![[Pasted image 20230715130346.png]]