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Semester 3/HMINF/HMINF Kochrezepte.md

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+Kochrezepte erstellt (erstmal) anhand der Klausuraufgaben. (Bis Aufgabe 3)
+**ACHTUNG: Die Vorgehensweise einiger dieser Kochrezepte entsprechen nur einem Pfad. Es ist durchaus möglich, dass eigentlich zur bearbeitung der Aufgaben eine Baumstruktur vorliegt. :(**
+## Bestimmung des Taylorpolynoms
+### Polynom einer Mehrparameterfunktion
+Kochrezept für das Aufstellen eines Taylor-Polynoms 2.Grades einer Multiparameterfunktion mit 2 Parametern.
+1. $f(x_0,y_0)$ bestimmen
+2. 1. Ableitungmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
+3. Nabla-Operator anhand $f'(x_0,y_0)$ bestimmen
+4. 2. Ableitungsmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
+5. Hesse-Form ($\underline{\underline{H}}_f$) anhand der Ableitungsmengen und $x_0, y_0$ bestimmen
+6. Eintragen in den Taylor-Polynom
+$$T_{n,(x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0)+\nabla^T 
+\left(\begin{array}{r}
+x-x_0\\
+y-y_0
+\end{array}\right)+\frac{1}{2!}
+\left(\begin{array}{r}
+x-x_0\\
+y-y_0
+\end{array}\right)^T
+\underline{\underline{H}}_f
+\left(\begin{array}{r}
+x-x_0\\
+y-y_0
+\end{array}\right)^T$$
+
+## Ermittlung der Lage und Art relativer Extremwerte von Funktionen
+
+1. Notwendige Bedingung
+	1. 1. Ableitungsmenge bilden
+	2. $\nabla \neq \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
+	3. Nullsetzen der 1. Ableitungen und die Lösungsmengen von $x, y$ bestimmen
+	4. mögliche Extremastellen anhand der Kombinationen von $x$ und $y$ ermitteln
+2. Hinreichende Bedingung
+	1. Aufstellen der Hesse-Form
+	2. Einsetzen der möglichen Extremastellen und anhand $h_{f11}$ und der Determinanten die Definitheit bestimmen
+		1. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ pos. definit rel. Minimum
+		2. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
+		3. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
+		4. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ neg. definit, rel. Maximum
+## Gleichungslösung
+### Fixpunktinteration
+1. Funktion nach $x$ Lösen => $g(x)$
+2. 1. Ableitung bilden und Steigung auswerten
+3. Grenzwertbetrachtung
+4. $|g'(x)|=L$
+5. Aufstellen der Iterationsvorschrift
+6. Ermitteln der Iterationsfolge
+7. Fehlerabschätzung
+$$|x_n-\tilde{x}| = \frac{L}{1-L}|x_n-x_{n-1}|$$
+## Integrationsregeln
+### Potenzregel
+$$\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$$
+### Faktorregel
+$$\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx$$
+### Summenregel
+$$\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$
+### Partielle Integration
+$$\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)$$
+### Integration durch Substitution
+$$\int f(x)dx = \int f(\varphi(u)\cdot \varphi'(u)du$$
+## Fourrier-Reihen
+$$s_n(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(k\omega x) + b_k\cdot \sin(k\omega x))$$
+$$a_0 = \frac{2}{T}\int f(x)dx$$
+$$a_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
+$$b_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
+- Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist
+	- Wenn Fkt. gerade, dann ist $b_k = 0$
+	- Wenn Fkt. ungerade, dann ist $a_k = 0$
+	- Wenn beides nicht zutrifft müssen $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
+- Bestimmung von $\omega, a_0$ 
+- Bestimmung von $a_k$ und/oder $b_k$
+- In die Formel einsetzen
+## Kleinste Quadrate Methode
+Benötigte Formeln:
+$$
+\begin{align}
+\underline{\underline{G}}^T\underline{\underline{G}}\underline a = \underline{\underline{G}}^T\underline y && F = (\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a})^T(\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a}) \\ \underline{\underline{G}}\underline{a} = \underline{y}
+&& \underline{a} = \underline{(\underline{G}}^T\underline{\underline{G}})^{-1}\underline{\underline{G}}^T\underline{y}
+\end{align} 
+$$
+- Überprüfung auf lineare Gleichung $\nabla_{\underline{a}}F(\underline{a}) = \underline{0}$ 
+- Aufstellen von $\underline{\underline{G}}$ bspl. $\begin{pmatrix}1 &x_0\\1&x_1\end{pmatrix}$
+- Quadrieren und Umkehren von $\underline{\underline{G}}$
+- Gleichung nach $\underline{a}$ lösen und in Geradengleichung $a_0+a_1x$ einsetzen
+## Matrizenoperationen
+
+### Inverse Matrix
+$$A^{⁻1} = \begin{pmatrix}
+a & b\\
+c & d
+\end{pmatrix}^{-1}
+= 
+\frac{1}{\text{det}\ A}\cdot
+\begin{pmatrix}
+d & -b\\
+-c &  a
+\end{pmatrix}
+$$