- [[#Grundvorgang|Grundvorgang]] - [[#Besprochene Themen|Besprochene Themen]] - [[#Durchführung|Durchführung]] - [[#Durchführung#Gleichungen|Gleichungen]] - [[#Gleichungen#Lineare Gleichungen|Lineare Gleichungen]] - [[#Gleichungen#Quadratische Ergänzung|Quadratische Ergänzung]] - [[#Gleichungen#Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$|Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$]] - [[#Gleichungen#Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$|Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$]] - [[#Gleichungen#Gauß-Verfahren|Gauß-Verfahren]] - [[#Gleichungen#Äquivalente Umformung|Äquivalente Umformung]] - [[#Durchführung#Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems|Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems]] - [[#Durchführung#Vektoralgebra|Vektoralgebra]] - [[#Vektoralgebra#Definition|Definition]] - [[#Vektoralgebra#Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren|Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren]] - [[#Vektoralgebra#Vektoroperationen|Vektoroperationen]] - [[#Vektoroperationen#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] - [[#Vektoroperationen#Winkel zwischen zwei Vektoren|Winkel zwischen zwei Vektoren]] - [[#Vektoralgebra#Vektornormierung|Vektornormierung]] - [[#Vektoralgebra#Vektorprojektion|Vektorprojektion]] # Klausurvorbereitung Ziel der Vorbereitung ist nicht die Vollständigkeit abzudecken, sondern eher alle Themen kurz anzusprechen und später erneut zu vertiefen. ## Grundvorgang - Vorlesungen kurz ansehen und Aufgaben gruppiert machen - Bei Bedarf mehr als 2-3 Aufgaben pro Thema abarbeiten (Solle mögl. sein, da das Aufgabenheft zur Verfügung steht) - (Vertiefung) Lesen der einzelnen neuen Kapitel, welche nicht beim Abitur drankamen (am besten aus anderen Büchern) - Beispielklausur noch einmal Durcharbeiten, dieses Mal aber mit einer Zeitlimitierung ## Besprochene Themen Folgende Liste kann unvollständig sein. Behalten Sie dies im Hinterkopf. - Gleichungen - Linear - Quadratische - PQ - 🔥Exponentielle und größere - Kubische Gleichungen vom speziellen Typ - Biquadratische Gleichungen - Lineare Gleichungen - Lineare Gleichungssysteme - Einführendes Beispiel - 🔥Gauß-Algorithmus - Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystem - Äquivalente Umformung eines lin. Gleichungssystems - Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß - Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems - Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes - 🔥Reele Matrizen - Definition - 🔥Transposition von Matrizen - 🔥Spezielle Matrizen - Diagonalmatrix - Einheitsmatrix - Dreiecksmatrix - Symmetrische Matrix - Gleichheit von Matrizen - Rechenoperationen - Addition/Subtraktion - Multiplikation mit einem Skalar - Multiplikation zweier Matrizen - Falk-Schema - 🔥Determinanten - Zweireihige Determinanten - Multiplikationstheorem - Dreireihige Determinanten - Regel von Sarrus - Laplascescher Entwicklungssatz - 🔥Lösungsverhalten quad. lin. Gleichungssystem - Inhomogen lineares System - Cramersche Regel - 🔥Trigonomische Funktionen - Grundbegriffe - Definition - Winkelmaße - Drehsinn eines Winkels - Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis - Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis - Sinus- und Kosinusfunktion - Tangens- und Kotangensfunktion - Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen - Anwendung in der Schwingungslehre - Harmonische Schwingungen (Sinus) - Harmonische Schwingung eines Federpendels - Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm - 🔥Arkusfunktionen - Das Problem der Umkehrung trigo. Funktionen - Arkussinusfunktion - Arkuskosinusfunktion - Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion - Trigonometrische Gleichungen - Exponentialfunktionen - Grundbegriffe - Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion - Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktion - Logarithmusfunktionen - Grundbegriffe - Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion - Exponential- und Logarithmusgleichungen - 🔥Komplexe Zahlen und Funktionen - Algebraische oder Kartesische Form - Polarformen - Trigonometrische Form - Exponentialform - Eulersche Form - Umrechnung zwischen Darstellungsformen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation kompl. Zahlen - 🔥Radizieren - Definition - Fundamentalsatz der Algebra ## Durchführung ### Gleichungen #### Lineare Gleichungen - Einsetzungsverfahren - Gleichsetzungsverfahren - Additionsverfahren #### Quadratische Ergänzung Anhand der binomischen Formeln kann man eine quadratische Ergänzung durchführen. Es entsteht am Ende ein "quadriertes Binom". Beispiel: $$ \begin{align} f(x)&=3x^2+6x+7 = 0\\ f(x)&=x^2+2x+\frac{7}{3} = 0 |-6\\ f(x)&=(x+1)^2 = -6 \end{align} $$ #### Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$ Bei kubischen Gleichungen, in denen das absolute Glied fehlt, lässt sich durch Ausklammern eine lineare und eine quadratische Gleichung erhalten. #### Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$ Über Substitution kann man solche Gleichungen lösen. Beispiel: $$ \begin{align} x^4-10x^2+9=0 \\ \text{Substitution } u&=x^2 \\ u^2-10u+9=0&\Rightarrow u_{1}{2}=5\pm4&\Rightarrow &u_{1}=9,&u_{2}=1 \\ \text{Rücksubstitution mittels } x^2=u: \\ x^2=U_{1}&=9&\Rightarrow&x_{1/2}&=\pm{3} \\ x^2=U_{2}&=9&\Rightarrow&x_{3/4}&=\pm{1} \end{align} $$ Die resultierende Lösungsmenge soll natürlich anschließend dokumentiert werden, da die Form jedoch selbsterklärend ist wird diese hier nicht gegeben. #### Gauß-Verfahren Gegeben sind folgende Gleichungen: $$ \begin{align*} I && -x+y+z =0\\ II && -2y-z=5\\ III &&6y+9z=3&&|3\cdot II+III\\ \hline\\ I && -x+y+z=0\\ II && -2y-z=5\\ III && 6z=18&\Leftrightarrow z=3\\ \dots \\ \hline\\ x=-1 && y=-4 &&z=3 \end{align*} $$ Diese Lösungsform kann ebenfalls als Matrize erscheinen und über Befehle, wie rref gelöst werden. #### Äquivalente Umformung Unter der "Äquivalenten Umformung" versteht man das Vorher besprochene Beispiel, in dem Gleichungen umgeformt werden um diese dann anschließend zu Lösen. ### Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems *inhomogene* Gleichungssysteme besitzen entweder genau eine Lösung, oder *unendlich* viele Lösungen oder aber *überhaupt* keine Lösungen. Erkennbar sind solche GS anhand mehrerer Gleichungen mit z.B. dem Fakt dass eine Gleichung das vielfache einer anderen Gleichung sei. Ein *homogenes* Gleichungssystem ist stets lösbar die Grundstruktur von diesem ist bekannt, da vorherige Beispiele immer homogen gewesen waren.![[Screenshot 2023-07-14 162823.png]] Wenn ein *inhomogenes* Gleichungssystem vorliegt, wird anhand des Hinzufügens des Skalars $\lambda$ eine potentielle Lösung für das *inhomogene* GS mit unendlich vielen Lösungen erstellt. Eine Lösung würde wie folgt aussehen: $$ \begin{align} x+y-2z=0&&\Rightarrow&& x=2\lambda&&\uparrow \\ y+0z=0&&\Rightarrow&&y=0&&\uparrow \\ 0z=0&&\Rightarrow&&z=\lambda&&(\lambda\in\mathbb{R}) \end{align} $$ Das Anwendungsbeispiel kann man sich gut als Gruppe ansehen. ___ ### Vektoralgebra #### Definition "Während man unter einem *Skalar* eine Größe versteht, die sich eindeutig durch eine Angabe einer *Maßzahl* und einer *Maßeinheit* beschreiben lässt, benötigt man bei einer *vektoriellen* Größe zusätzlich noch angaben über die Richtung, in der sie wirkt." #### Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren - Parallel: $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$ - Antiparallel: $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$ - Kollinear: $\lambda\cdot\vec{a}=\vec{b}$ #### Vektoroperationen Bei der Addition zweier Vektoren gelten sowohl das Kommutativ-, als auch das Assoziativgesetz. Die Subtraktion erfolgt nach dem gleichen Prinzip, nur dass man den gegenVektor addiert. Man bildet den sogenannten *Differenzvektor*. Die Multiplikation eines Vektors über einen Skalar erfolgt folgendermaßen: $$ \lambda\cdot\vec{a} = \left( \begin{array}{c} \lambda\cdot a_{x} \\ \lambda \cdot a_{y} \\ \lambda \cdot a_{z} \end{array}\right) $$ Um eine Vektorlänge zu erhalten benutzt man folgenden Vorgang: $$ \mid\vec{a}\mid=\mid\vec{P_{1}P_{2}\dots P_{n}}\mid =\sqrt{P_{1}^2+P_{2}^2+\dots P_{n}} $$ ##### Skalarprodukt "Unter dem *Skalarprodukt* $\vec{a}\cdot\vec{b}$ zweier Vektoren wird das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ verstanden." - Bei Orthogonalität ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich **0** $\vec{a}\bot\vec{b}$ - Sind zwei Vektoren parallel, so ist leifert das Skalarprodukt den Wert **1** $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\left( \begin{array}\\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} \\ b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{array}\right) = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} $$ ##### Winkel zwischen zwei Vektoren Mit folgender Formel lässt sich der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren ermitteln. $$ \cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot \mid\vec{b}\mid} $$ ANWENDUNGSBEISPIEL: 2.5 vom 05.05.2023 #### Vektornormierung "Durch *Normierung* erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen *Einheitsvektor gleicher Richtung*" $$\vec{e_{a}}=\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$$ #### Vektorprojektion Bei der Projektion eines Vektors teilt man einen Vektor beispielsweise in eine Tangential- und eine Normalkomponente. "Durch Projektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ entsteht der Vektor $$ \vec{b_{a}}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid^2} \right)\vec{a} = (\vec{e_{a}}\cdot\vec{b})\vec{e_{a}} $$ Er wird als *Komponente* des Vektors $\vec{b}$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ bezeichnet." #### Vektorprodukt zweier vektoren "Unter dem Vektorprodukt $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften: 1. $\vec{c}$ ist sowohl $\vec{a}$ als auch $\vec{b}$ orthogonal: $\vec{c} \cdot\vec{a}=0$ und $\vec{c} \cdot\vec{b}=0$ 2. Der Betrag von $\vec{c}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\varphi$: $$ \begin{align} \mid\vec{c}\mid&=\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \sin \varphi & (0°\leq\varphi\leq 180°) \end{align} $$ 3. Die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bilden in dieser Reihenfolge einen rechtshändiges System." **Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren** Das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen: $$ \vec{a}\times\vec{b}=\left( \begin{array}\\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array}\right)\times \left( \begin{array}\\ b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{array}\right) = \\ \left(\begin{array}\\ a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y} \\ a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z} \\ a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x} \end{array}\right) $$ ##### Determinantendarstellung eines Vektorproduktes ![[Screenshot 2023-07-15 115056.png]] Die eine dreireihige Determinante kann nach der *Regel von Sarrus* ermittelt werden. Diese wurde in der Abbildung zum Schluss verwendet. ##### Spatprodukt Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor $\vec{a}$ und dem aus den Vektoren gebildeten Vektorprodukt Vektorprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ : $$ [\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\times\vec{c} $$ #### Geometrisch Deutung eines Spatproduktes ![[Screenshot 2023-07-15 120529.png]] Hier sind grundlagen aus dem Abitur, welche nicht erwähnt werden. Darunter sind folgende Beispielthemen: - Geradendarstellung - Ebenendarstellung ### Matrizen #### Transponierung einer Matrix ![[Screenshot 2023-07-15 123157.png]] Bei Matrizen kommen ansonsten keine neuen Themen dran, daher ist die Grundlage des Abis ausreichend. #### Multiplaktion zweier Matrizen ![[Pasted image 20230715123337.png]] Das ist das sogenannte Falk-Schema. ### Determinanten Beim Durchlesen bekam ich eine Krise, daher mache ich das vllt später. ### Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems ![[Pasted image 20230715130139.png]] ### Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems ![[Pasted image 20230715130100.png]] ### Cramersche Regel ![[Pasted image 20230715130346.png]]