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2025-07-02 13:08:03 +02:00

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Klausurvorbereitung

Ziel der Vorbereitung ist nicht die Vollständigkeit abzudecken, sondern eher alle Themen kurz anzusprechen und später erneut zu vertiefen.

Grundvorgang

Vorlesungen kurz ansehen und Aufgaben gruppiert machen
- Bei Bedarf mehr als 2-3 Aufgaben pro Thema abarbeiten (Solle mögl. sein, da das Aufgabenheft zur Verfügung steht)
(Vertiefung) Lesen der einzelnen neuen Kapitel, welche nicht beim Abitur drankamen (am besten aus anderen Büchern)
Beispielklausur noch einmal Durcharbeiten, dieses Mal aber mit einer Zeitlimitierung

Besprochene Themen

Folgende Liste kann unvollständig sein. Behalten Sie dies im Hinterkopf.

Gleichungen
- Linear
- Quadratische
  - PQ
- 🔥Exponentielle und größere
  - Kubische Gleichungen vom speziellen Typ
  - Biquadratische Gleichungen
Lineare Gleichungen
- Lineare Gleichungssysteme
- Einführendes Beispiel
- 🔥Gauß-Algorithmus
  - Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystem
  - Äquivalente Umformung eines lin. Gleichungssystems
  - Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß
  - Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
  - Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
🔥Reele Matrizen
- Definition
- 🔥Transposition von Matrizen
- 🔥Spezielle Matrizen
  - Diagonalmatrix
  - Einheitsmatrix
  - Dreiecksmatrix
  - Symmetrische Matrix
- Gleichheit von Matrizen
- Rechenoperationen
  - Addition/Subtraktion
  - Multiplikation mit einem Skalar
  - Multiplikation zweier Matrizen
    - Falk-Schema
🔥Determinanten
- Zweireihige Determinanten
  - Multiplikationstheorem
- Dreireihige Determinanten
  - Regel von Sarrus
  - Laplascescher Entwicklungssatz
🔥Lösungsverhalten quad. lin. Gleichungssystem
- Inhomogen lineares System
  - Cramersche Regel
🔥Trigonomische Funktionen
- Grundbegriffe
  - Definition
  - Winkelmaße
  - Drehsinn eines Winkels
  - Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis
  - Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis
- Sinus- und Kosinusfunktion
- Tangens- und Kotangensfunktion
- Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
- Anwendung in der Schwingungslehre
  - Harmonische Schwingungen (Sinus)
  - Harmonische Schwingung eines Federpendels
- Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
🔥Arkusfunktionen
- Das Problem der Umkehrung trigo. Funktionen
- Arkussinusfunktion
- Arkuskosinusfunktion
- Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
- Trigonometrische Gleichungen
Exponentialfunktionen
- Grundbegriffe
- Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
- Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktion
Logarithmusfunktionen
- Grundbegriffe
- Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
- Exponential- und Logarithmusgleichungen
🔥Komplexe Zahlen und Funktionen
- Algebraische oder Kartesische Form
- Polarformen
  - Trigonometrische Form
  - Exponentialform
  - Eulersche Form
- Umrechnung zwischen Darstellungsformen
- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
- Multiplikation kompl. Zahlen
🔥Radizieren
- Definition
- Fundamentalsatz der Algebra

Durchführung

Gleichungen

Lineare Gleichungen

Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren

Quadratische Ergänzung

Anhand der binomischen Formeln kann man eine quadratische Ergänzung durchführen. Es entsteht am Ende ein "quadriertes Binom". Beispiel:


\begin{align}
f(x)&=3x^2+6x+7 = 0\\
f(x)&=x^2+2x+\frac{7}{3} = 0 |-6\\
f(x)&=(x+1)^2 = -6
\end{align}

Kubische Gleichungen vom Typ `ax^3+bx^2+cx=0`

Bei kubischen Gleichungen, in denen das absolute Glied fehlt, lässt sich durch Ausklammern eine lineare und eine quadratische Gleichung erhalten.

Biquadratische Gleichungen `ax^4+bx^2+c=0`

Über Substitution kann man solche Gleichungen lösen. Beispiel:


\begin{align}
x^4-10x^2+9=0 \\
\text{Substitution } u&=x^2 \\
u^2-10u+9=0&\Rightarrow u_{1}{2}=5\pm4&\Rightarrow &u_{1}=9,&u_{2}=1 \\
\text{Rücksubstitution mittels } x^2=u: \\
x^2=U_{1}&=9&\Rightarrow&x_{1/2}&=\pm{3} \\
x^2=U_{2}&=9&\Rightarrow&x_{3/4}&=\pm{1}
\end{align}

Die resultierende Lösungsmenge soll natürlich anschließend dokumentiert werden, da die Form jedoch selbsterklärend ist wird diese hier nicht gegeben.

Gauß-Verfahren

Gegeben sind folgende Gleichungen:


\begin{align*}
I && -x+y+z =0\\
II && -2y-z=5\\
III &&6y+9z=3&&|3\cdot II+III\\
\hline\\
I && -x+y+z=0\\
II && -2y-z=5\\
III && 6z=18&\Leftrightarrow z=3\\
\dots \\
\hline\\
x=-1 && y=-4 &&z=3
\end{align*}

Diese Lösungsform kann ebenfalls als Matrize erscheinen und über Befehle, wie rref gelöst werden.

Äquivalente Umformung

Unter der "Äquivalenten Umformung" versteht man das Vorher besprochene Beispiel, in dem Gleichungen umgeformt werden um diese dann anschließend zu Lösen.

Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems

inhomogene Gleichungssysteme besitzen entweder genau eine Lösung, oder unendlich viele Lösungen oder aber überhaupt keine Lösungen. Erkennbar sind solche GS anhand mehrerer Gleichungen mit z.B. dem Fakt dass eine Gleichung das vielfache einer anderen Gleichung sei. Ein homogenes Gleichungssystem ist stets lösbar die Grundstruktur von diesem ist bekannt, da vorherige Beispiele immer homogen gewesen waren.! Wenn ein inhomogenes Gleichungssystem vorliegt, wird anhand des Hinzufügens des Skalars \lambda eine potentielle Lösung für das inhomogene GS mit unendlich vielen Lösungen erstellt. Eine Lösung würde wie folgt aussehen:


\begin{align}
	x+y-2z=0&&\Rightarrow&& x=2\lambda&&\uparrow \\
	y+0z=0&&\Rightarrow&&y=0&&\uparrow \\
	0z=0&&\Rightarrow&&z=\lambda&&(\lambda\in\mathbb{R})
\end{align}

Das Anwendungsbeispiel kann man sich gut als Gruppe ansehen.

Vektoralgebra

Definition

"Während man unter einem Skalar eine Größe versteht, die sich eindeutig durch eine Angabe einer Maßzahl und einer Maßeinheit beschreiben lässt, benötigt man bei einer vektoriellen Größe zusätzlich noch angaben über die Richtung, in der sie wirkt."

Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren

Parallel: \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}
Antiparallel: \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}
Kollinear: \lambda\cdot\vec{a}=\vec{b}

Vektoroperationen

Bei der Addition zweier Vektoren gelten sowohl das Kommutativ-, als auch das Assoziativgesetz. Die Subtraktion erfolgt nach dem gleichen Prinzip, nur dass man den gegenVektor addiert. Man bildet den sogenannten Differenzvektor. Die Multiplikation eines Vektors über einen Skalar erfolgt folgendermaßen:


\lambda\cdot\vec{a} = \left(
\begin{array}{c}
\lambda\cdot a_{x} \\
\lambda \cdot a_{y} \\
\lambda \cdot a_{z}
\end{array}\right)

Um eine Vektorlänge zu erhalten benutzt man folgenden Vorgang:


\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{P_{1}P_{2}\dots P_{n}}\mid =\sqrt{P_{1}^2+P_{2}^2+\dots P_{n}}

Skalarprodukt

"Unter dem Skalarprodukt \vec{a}\cdot\vec{b} zweier Vektoren wird das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \varphi verstanden."

Bei Orthogonalität ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich 0 \vec{a}\bot\vec{b}
Sind zwei Vektoren parallel, so ist leifert das Skalarprodukt den Wert 1


\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(
\begin{array}\\
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array} \\
b_{x} \\
b_{y} \\
b_{z}
\end{array}\right) = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Winkel zwischen zwei Vektoren

Mit folgender Formel lässt sich der Winkel \varphi zweier Vektoren ermitteln.


\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot \mid\vec{b}\mid}

ANWENDUNGSBEISPIEL: 2.5 vom 05.05.2023

Vektornormierung

"Durch Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \vec{a} einen Einheitsvektor gleicher Richtung"

\vec{e_{a}}=\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}

Vektorprojektion

Bei der Projektion eines Vektors teilt man einen Vektor beispielsweise in eine Tangential- und eine Normalkomponente.

"Durch Projektion des Vektors \vec{b} auf den Vektor \vec{a} entsteht der Vektor


\vec{b_{a}}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid^2}
\right)\vec{a} = (\vec{e_{a}}\cdot\vec{b})\vec{e_{a}}

Er wird als Komponente des Vektors \vec{b} in Richtung des Vektors \vec{a} bezeichnet."

Vektorprodukt zweier vektoren

"Unter dem Vektorprodukt \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b} zweier Vektoren versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

\vec{c} ist sowohl \vec{a} als auch \vec{b} orthogonal: \vec{c} \cdot\vec{a}=0 und \vec{c} \cdot\vec{b}=0
Der Betrag von \vec{c} ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \vec{a} und \vec{b} und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \varphi:


\begin{align}
\mid\vec{c}\mid&=\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \sin \varphi & (0°\leq\varphi\leq 180°)
\end{align}

Die Vektoren \vec{a},\vec{b},\vec{c} bilden in dieser Reihenfolge einen rechtshändiges System."

Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren Das Vektorprodukt \vec{a}\times\vec{b} zweier Vektoren lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen:


\vec{a}\times\vec{b}=\left(
\begin{array}\\
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)\times
\left(
\begin{array}\\
b_{x} \\
b_{y} \\
b_{z}
\end{array}\right) = \\
\left(\begin{array}\\
a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y} \\
a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z} \\
a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x}
\end{array}\right)

Determinantendarstellung eines Vektorproduktes

! Die eine dreireihige Determinante kann nach der Regel von Sarrus ermittelt werden. Diese wurde in der Abbildung zum Schluss verwendet.

Spatprodukt

Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor \vec{a} und dem aus den Vektoren gebildeten Vektorprodukt Vektorprodukt \vec{b}\times\vec{c} :


[\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\times\vec{c}

Geometrisch Deutung eines Spatproduktes

Hier sind grundlagen aus dem Abitur, welche nicht erwähnt werden. Darunter sind folgende Beispielthemen:

Geradendarstellung
Ebenendarstellung

Matrizen

Transponierung einer Matrix

! Bei Matrizen kommen ansonsten keine neuen Themen dran, daher ist die Grundlage des Abis ausreichend.

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Klausurvorbereitung

Grundvorgang

Besprochene Themen

Durchführung

Gleichungen

Lineare Gleichungen

Quadratische Ergänzung

Kubische Gleichungen vom Typ `ax^3+bx^2+cx=0`

Biquadratische Gleichungen `ax^4+bx^2+c=0`

Gauß-Verfahren

Äquivalente Umformung

Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems

Vektoralgebra

Definition

Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren

Vektoroperationen

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Vektornormierung

Vektorprojektion

Vektorprodukt zweier vektoren

Determinantendarstellung eines Vektorproduktes

Spatprodukt

Geometrisch Deutung eines Spatproduktes

Matrizen

Transponierung einer Matrix

Multiplaktion zweier Matrizen

Determinanten

Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems

Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems

Cramersche Regel

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Klausurvorbereitung

Grundvorgang

Besprochene Themen

Durchführung

Gleichungen

Lineare Gleichungen

Quadratische Ergänzung

Kubische Gleichungen vom Typ ax^3+bx^2+cx=0

Biquadratische Gleichungen ax^4+bx^2+c=0

Gauß-Verfahren

Äquivalente Umformung

Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems

Vektoralgebra

Definition

Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren

Vektoroperationen

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Vektornormierung

Vektorprojektion

Vektorprodukt zweier vektoren

Determinantendarstellung eines Vektorproduktes

Spatprodukt

Geometrisch Deutung eines Spatproduktes

Matrizen

Transponierung einer Matrix

Multiplaktion zweier Matrizen

Determinanten

Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems

Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems

Cramersche Regel

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Kubische Gleichungen vom Typ `ax^3+bx^2+cx=0`

Biquadratische Gleichungen `ax^4+bx^2+c=0`