TI-Studium-Mitschriften/Semester 3/HMINF/HMINF Kochrezepte.md

Kochrezepte erstellt (erstmal) anhand der Klausuraufgaben. (Bis Aufgabe 3) ACHTUNG: Die Vorgehensweise einiger dieser Kochrezepte entsprechen nur einem Pfad. Es ist durchaus möglich, dass eigentlich zur bearbeitung der Aufgaben eine Baumstruktur vorliegt. :(

Bestimmung des Taylorpolynoms

Polynom einer Mehrparameterfunktion

Kochrezept für das Aufstellen eines Taylor-Polynoms 2.Grades einer Multiparameterfunktion mit 2 Parametern.

1. f(x_0,y_0) bestimmen
2. 1. Ableitungmenge der Funktion f(x,y) bestimmen
3. Nabla-Operator anhand f'(x_0,y_0) bestimmen
4. 2. Ableitungsmenge der Funktion f(x,y) bestimmen
5. Hesse-Form (\underline{\underline{H}}_f) anhand der Ableitungsmengen und x_0, y_0 bestimmen
6. Eintragen in den Taylor-Polynom $$T_{n,(x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0)+\nabla^T \left(\begin{array}{r} x-x_0\ y-y_0 \end{array}\right)+\frac{1}{2!} \left(\begin{array}{r} x-x_0\ y-y_0 \end{array}\right)^T \underline{\underline{H}}_f \left(\begin{array}{r} x-x_0\ y-y_0 \end{array}\right)^T$$

Ermittlung der Lage und Art relativer Extremwerte von Funktionen

1. Notwendige Bedingung
   1. 1. Ableitungsmenge bilden
   2. \nabla \neq \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
   3. Nullsetzen der 1. Ableitungen und die Lösungsmengen von x, y bestimmen
   4. mögliche Extremastellen anhand der Kombinationen von x und y ermitteln
2. Hinreichende Bedingung
   1. Aufstellen der Hesse-Form
   2. Einsetzen der möglichen Extremastellen und anhand h_{f11} und der Determinanten die Definitheit bestimmen
      1. h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0 pos. definit rel. Minimum
      2. h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0 indefinit, Sattelpunkt
      3. h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0 indefinit, Sattelpunkt
      4. h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0 neg. definit, rel. Maximum

Gleichungslösung

Fixpunktinteration

1. Funktion nach x Lösen => g(x)
2. 1. Ableitung bilden und Steigung auswerten
3. Grenzwertbetrachtung
4. |g'(x)|=L
5. Aufstellen der Iterationsvorschrift
6. Ermitteln der Iterationsfolge
7. Fehlerabschätzung

|x_n-\tilde{x}| = \frac{L}{1-L}|x_n-x_{n-1}|

Integrationsregeln

Potenzregel

\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}

Faktorregel

\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx

Summenregel

\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx

Partielle Integration

\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)

Integration durch Substitution

\int f(x)dx = \int f(\varphi(u)\cdot \varphi'(u)du

Fourrier-Reihen

s_n(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(k\omega x) + b_k\cdot \sin(k\omega x)) a_0 = \frac{2}{T}\int f(x)dx a_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx b_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx

• Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist
  • Wenn Fkt. gerade, dann ist b_k = 0
  • Wenn Fkt. ungerade, dann ist a_k = 0
  • Wenn beides nicht zutrifft müssen a_k und b_k bestimmt werden
• Bestimmung von \omega, a_0
• Bestimmung von a_k und/oder b_k
• In die Formel einsetzen

Kleinste Quadrate Methode

Benötigte Formeln:

\begin{align}
\underline{\underline{G}}^T\underline{\underline{G}}\underline a = \underline{\underline{G}}^T\underline y && F = (\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a})^T(\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a}) \\ \underline{\underline{G}}\underline{a} = \underline{y}
&& \underline{a} = \underline{(\underline{G}}^T\underline{\underline{G}})^{-1}\underline{\underline{G}}^T\underline{y}
\end{align} 

• Überprüfung auf lineare Gleichung \nabla_{\underline{a}}F(\underline{a}) = \underline{0}
• Aufstellen von \underline{\underline{G}} bspl. \begin{pmatrix}1 &x_0\\1&x_1\end{pmatrix}
• Quadrieren und Umkehren von \underline{\underline{G}}
• Gleichung nach \underline{a} lösen und in Geradengleichung a_0+a_1x einsetzen

Matrizenoperationen

Inverse Matrix

$$A^{⁻1} = \begin{pmatrix} a & b\ c & d \end{pmatrix}^{-1}

\frac{1}{\text{det}\ A}\cdot \begin{pmatrix} d & -b\ -c & a \end{pmatrix}