Kochrezepte erstellt (erstmal) anhand der Klausuraufgaben. (Bis Aufgabe 3)
**ACHTUNG: Die Vorgehensweise einiger dieser Kochrezepte entsprechen nur einem Pfad. Es ist durchaus möglich, dass eigentlich zur bearbeitung der Aufgaben eine Baumstruktur vorliegt. :(**
## Bestimmung des Taylorpolynoms
### Polynom einer Mehrparameterfunktion
Kochrezept für das Aufstellen eines Taylor-Polynoms 2.Grades einer Multiparameterfunktion mit 2 Parametern.
1. $f(x_0,y_0)$ bestimmen
2. 1. Ableitungmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
3. Nabla-Operator anhand $f'(x_0,y_0)$ bestimmen
4. 2. Ableitungsmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
5. Hesse-Form ($\underline{\underline{H}}_f$) anhand der Ableitungsmengen und $x_0, y_0$ bestimmen
6. Eintragen in den Taylor-Polynom
$$T_{n,(x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0)+\nabla^T 
\left(\begin{array}{r}
x-x_0\\
y-y_0
\end{array}\right)+\frac{1}{2!}
\left(\begin{array}{r}
x-x_0\\
y-y_0
\end{array}\right)^T
\underline{\underline{H}}_f
\left(\begin{array}{r}
x-x_0\\
y-y_0
\end{array}\right)^T$$

## Ermittlung der Lage und Art relativer Extremwerte von Funktionen

1. Notwendige Bedingung
	1. 1. Ableitungsmenge bilden
	2. $\nabla \neq \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
	3. Nullsetzen der 1. Ableitungen und die Lösungsmengen von $x, y$ bestimmen
	4. mögliche Extremastellen anhand der Kombinationen von $x$ und $y$ ermitteln
2. Hinreichende Bedingung
	1. Aufstellen der Hesse-Form
	2. Einsetzen der möglichen Extremastellen und anhand $h_{f11}$ und der Determinanten die Definitheit bestimmen
		1. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ pos. definit rel. Minimum
		2. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
		3. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
		4. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ neg. definit, rel. Maximum
## Gleichungslösung
### Fixpunktinteration
1. Funktion nach $x$ Lösen => $g(x)$
2. 1. Ableitung bilden und Steigung auswerten
3. Grenzwertbetrachtung
4. $|g'(x)|=L$
5. Aufstellen der Iterationsvorschrift
6. Ermitteln der Iterationsfolge
7. Fehlerabschätzung
$$|x_n-\tilde{x}| = \frac{L}{1-L}|x_n-x_{n-1}|$$
## Integrationsregeln
### Potenzregel
$$\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$$
### Faktorregel
$$\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx$$
### Summenregel
$$\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$
### Partielle Integration
$$\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)$$
### Integration durch Substitution
$$\int f(x)dx = \int f(\varphi(u)\cdot \varphi'(u)du$$
## Fourrier-Reihen
$$s_n(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(k\omega x) + b_k\cdot \sin(k\omega x))$$
$$a_0 = \frac{2}{T}\int f(x)dx$$
$$a_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
$$b_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
- Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist
	- Wenn Fkt. gerade, dann ist $b_k = 0$
	- Wenn Fkt. ungerade, dann ist $a_k = 0$
	- Wenn beides nicht zutrifft müssen $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
- Bestimmung von $\omega, a_0$ 
- Bestimmung von $a_k$ und/oder $b_k$
- In die Formel einsetzen
## Kleinste Quadrate Methode
Benötigte Formeln:
$$
\begin{align}
\underline{\underline{G}}^T\underline{\underline{G}}\underline a = \underline{\underline{G}}^T\underline y && F = (\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a})^T(\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a}) \\ \underline{\underline{G}}\underline{a} = \underline{y}
&& \underline{a} = \underline{(\underline{G}}^T\underline{\underline{G}})^{-1}\underline{\underline{G}}^T\underline{y}
\end{align} 
$$
- Überprüfung auf lineare Gleichung $\nabla_{\underline{a}}F(\underline{a}) = \underline{0}$ 
- Aufstellen von $\underline{\underline{G}}$ bspl. $\begin{pmatrix}1 &x_0\\1&x_1\end{pmatrix}$
- Quadrieren und Umkehren von $\underline{\underline{G}}$
- Gleichung nach $\underline{a}$ lösen und in Geradengleichung $a_0+a_1x$ einsetzen
## Matrizenoperationen

### Inverse Matrix
$$A^{⁻1} = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}^{-1}
= 
\frac{1}{\text{det}\ A}\cdot
\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c &  a
\end{pmatrix}
$$