- [[#Grundvorgang|Grundvorgang]]
- [[#Besprochene Themen|Besprochene Themen]]
- [[#Durchführung|Durchführung]]
	- [[#Durchführung#Gleichungen|Gleichungen]]
		- [[#Gleichungen#Lineare Gleichungen|Lineare Gleichungen]]
		- [[#Gleichungen#Quadratische Ergänzung|Quadratische Ergänzung]]
		- [[#Gleichungen#Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$|Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$]]
		- [[#Gleichungen#Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$|Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$]]
		- [[#Gleichungen#Gauß-Verfahren|Gauß-Verfahren]]
		- [[#Gleichungen#Äquivalente Umformung|Äquivalente Umformung]]
	- [[#Durchführung#Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems|Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems]]
	- [[#Durchführung#Vektoralgebra|Vektoralgebra]]
		- [[#Vektoralgebra#Definition|Definition]]
		- [[#Vektoralgebra#Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren|Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren]]
		- [[#Vektoralgebra#Vektoroperationen|Vektoroperationen]]
			- [[#Vektoroperationen#Skalarprodukt|Skalarprodukt]]
			- [[#Vektoroperationen#Winkel zwischen zwei Vektoren|Winkel zwischen zwei Vektoren]]
		- [[#Vektoralgebra#Vektornormierung|Vektornormierung]]
		- [[#Vektoralgebra#Vektorprojektion|Vektorprojektion]]


# Klausurvorbereitung
Ziel der Vorbereitung ist nicht die Vollständigkeit abzudecken, sondern eher alle Themen kurz anzusprechen und später erneut zu vertiefen.
## Grundvorgang 
- Vorlesungen kurz ansehen und Aufgaben gruppiert machen
	- Bei Bedarf mehr als 2-3 Aufgaben pro Thema abarbeiten (Solle mögl. sein, da das Aufgabenheft zur Verfügung steht)
- (Vertiefung) Lesen der einzelnen neuen Kapitel, welche nicht beim Abitur drankamen (am besten aus anderen Büchern)
- Beispielklausur noch einmal Durcharbeiten, dieses Mal aber mit einer Zeitlimitierung
## Besprochene Themen
Folgende Liste kann unvollständig sein. Behalten Sie dies im Hinterkopf.
- Gleichungen
	- Linear
	- Quadratische
		- PQ
	- 🔥Exponentielle und größere
		- Kubische Gleichungen vom speziellen Typ
		- Biquadratische Gleichungen
- Lineare Gleichungen
	- Lineare Gleichungssysteme
	- Einführendes Beispiel
	- 🔥Gauß-Algorithmus
		- Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystem
		- Äquivalente Umformung eines lin. Gleichungssystems
		- Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß
		- Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
		- Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
- 🔥Reele Matrizen
	- Definition
	- 🔥Transposition von Matrizen
	- 🔥Spezielle Matrizen
		- Diagonalmatrix
		- Einheitsmatrix
		- Dreiecksmatrix
		- Symmetrische Matrix
	- Gleichheit von Matrizen
	- Rechenoperationen
		- Addition/Subtraktion
		- Multiplikation mit einem Skalar
		- Multiplikation zweier Matrizen
			- Falk-Schema
- 🔥Determinanten
	- Zweireihige Determinanten
		- Multiplikationstheorem
	- Dreireihige Determinanten
		- Regel von Sarrus
		- Laplascescher Entwicklungssatz
- 🔥Lösungsverhalten quad. lin. Gleichungssystem
	- Inhomogen lineares System
		- Cramersche Regel
- 🔥Trigonomische Funktionen
	- Grundbegriffe
		- Definition
		- Winkelmaße
		- Drehsinn eines Winkels
		- Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis
		- Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis
	- Sinus- und Kosinusfunktion
	- Tangens- und Kotangensfunktion
	- Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
	- Anwendung in der Schwingungslehre
		- Harmonische Schwingungen (Sinus)
		- Harmonische Schwingung eines Federpendels
	- Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
- 🔥Arkusfunktionen 
	- Das Problem der Umkehrung trigo. Funktionen
	- Arkussinusfunktion
	- Arkuskosinusfunktion
	- Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
	- Trigonometrische Gleichungen
- Exponentialfunktionen
	- Grundbegriffe
	- Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
	- Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktion
- Logarithmusfunktionen
	- Grundbegriffe
	- Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
	- Exponential- und Logarithmusgleichungen
- 🔥Komplexe Zahlen und Funktionen
	- Algebraische oder Kartesische Form
	- Polarformen
		- Trigonometrische Form
		- Exponentialform
		- Eulersche Form
	- Umrechnung zwischen Darstellungsformen
	- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
	- Multiplikation kompl. Zahlen
- 🔥Radizieren
	- Definition
	- Fundamentalsatz der Algebra
## Durchführung
### Gleichungen
#### Lineare Gleichungen
- Einsetzungsverfahren
- Gleichsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
#### Quadratische Ergänzung
Anhand der binomischen Formeln kann man eine quadratische Ergänzung durchführen. Es entsteht am Ende ein "quadriertes Binom".
Beispiel:
$$
\begin{align}
f(x)&=3x^2+6x+7 = 0\\
f(x)&=x^2+2x+\frac{7}{3} = 0 |-6\\
f(x)&=(x+1)^2 = -6
\end{align}
$$
#### Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$
Bei kubischen Gleichungen, in denen das absolute Glied fehlt, lässt sich durch Ausklammern eine lineare und eine quadratische Gleichung erhalten.
#### Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$
Über Substitution kann man solche Gleichungen lösen.
Beispiel:
$$
\begin{align}
x^4-10x^2+9=0 \\
\text{Substitution } u&=x^2 \\
u^2-10u+9=0&\Rightarrow u_{1}{2}=5\pm4&\Rightarrow &u_{1}=9,&u_{2}=1 \\
\text{Rücksubstitution mittels } x^2=u: \\
x^2=U_{1}&=9&\Rightarrow&x_{1/2}&=\pm{3} \\
x^2=U_{2}&=9&\Rightarrow&x_{3/4}&=\pm{1}
\end{align}
$$
Die resultierende Lösungsmenge soll natürlich anschließend dokumentiert werden, da die Form jedoch selbsterklärend ist wird diese hier nicht gegeben.
#### Gauß-Verfahren
Gegeben sind folgende Gleichungen:
$$
\begin{align*}
I && -x+y+z =0\\
II && -2y-z=5\\
III &&6y+9z=3&&|3\cdot II+III\\
\hline\\
I && -x+y+z=0\\
II && -2y-z=5\\
III && 6z=18&\Leftrightarrow z=3\\
\dots \\
\hline\\
x=-1 && y=-4 &&z=3
\end{align*}
$$
Diese Lösungsform kann ebenfalls als Matrize erscheinen und über Befehle, wie rref gelöst werden.
#### Äquivalente Umformung
Unter der "Äquivalenten Umformung" versteht man das Vorher besprochene Beispiel, in dem Gleichungen umgeformt werden um diese dann anschließend zu Lösen.
### Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
*inhomogene* Gleichungssysteme besitzen entweder genau eine Lösung, oder *unendlich* viele Lösungen oder aber *überhaupt* keine Lösungen.
Erkennbar sind solche GS anhand mehrerer Gleichungen mit z.B. dem Fakt dass eine Gleichung das vielfache einer anderen Gleichung sei.
Ein *homogenes* Gleichungssystem ist stets lösbar die Grundstruktur von diesem ist bekannt, da vorherige Beispiele immer homogen gewesen waren.![[Screenshot 2023-07-14 162823.png]]
Wenn ein *inhomogenes* Gleichungssystem vorliegt, wird anhand des Hinzufügens des Skalars $\lambda$ eine potentielle Lösung für das *inhomogene* GS mit unendlich vielen Lösungen erstellt. Eine Lösung würde wie folgt aussehen:
$$
\begin{align}
	x+y-2z=0&&\Rightarrow&& x=2\lambda&&\uparrow \\
	y+0z=0&&\Rightarrow&&y=0&&\uparrow \\
	0z=0&&\Rightarrow&&z=\lambda&&(\lambda\in\mathbb{R})
\end{align}
$$
Das Anwendungsbeispiel kann man sich gut als Gruppe ansehen.
___
### Vektoralgebra
#### Definition
"Während man unter einem *Skalar* eine Größe versteht, die sich eindeutig durch eine Angabe einer *Maßzahl* und einer *Maßeinheit* beschreiben lässt, benötigt man bei einer *vektoriellen* Größe zusätzlich noch angaben über die Richtung, in der sie wirkt."
#### Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren
- Parallel: $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$
- Antiparallel: $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$
- Kollinear: $\lambda\cdot\vec{a}=\vec{b}$
#### Vektoroperationen
Bei der Addition zweier Vektoren gelten sowohl das Kommutativ-, als auch das Assoziativgesetz. 
Die Subtraktion erfolgt nach dem gleichen Prinzip, nur dass man den gegenVektor addiert. Man bildet den sogenannten *Differenzvektor*.
Die Multiplikation eines Vektors über einen Skalar erfolgt folgendermaßen:
$$
\lambda\cdot\vec{a} = \left(
\begin{array}{c}
\lambda\cdot a_{x} \\
\lambda \cdot a_{y} \\
\lambda \cdot a_{z}
\end{array}\right)
$$
Um eine Vektorlänge zu erhalten benutzt man folgenden Vorgang:
$$
\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{P_{1}P_{2}\dots P_{n}}\mid =\sqrt{P_{1}^2+P_{2}^2+\dots P_{n}}
$$
##### Skalarprodukt
"Unter dem *Skalarprodukt*  $\vec{a}\cdot\vec{b}$ zweier Vektoren wird das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ verstanden."
- Bei Orthogonalität ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich **0**  $\vec{a}\bot\vec{b}$
- Sind zwei Vektoren parallel, so ist leifert das Skalarprodukt den Wert **1**
$$
\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(
\begin{array}\\
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array} \\
b_{x} \\
b_{y} \\
b_{z}
\end{array}\right) = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}
$$

##### Winkel zwischen zwei Vektoren
Mit folgender Formel lässt sich der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren ermitteln.
$$
\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot \mid\vec{b}\mid}
$$
ANWENDUNGSBEISPIEL: 2.5 vom 05.05.2023
#### Vektornormierung
"Durch *Normierung* erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen *Einheitsvektor gleicher Richtung*"
$$\vec{e_{a}}=\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$$
#### Vektorprojektion
Bei der Projektion eines Vektors teilt man einen Vektor beispielsweise in eine Tangential- und eine Normalkomponente.

"Durch Projektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ entsteht der Vektor
$$
\vec{b_{a}}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid^2}
\right)\vec{a} = (\vec{e_{a}}\cdot\vec{b})\vec{e_{a}}
$$
Er wird als *Komponente* des Vektors $\vec{b}$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ bezeichnet."
#### Vektorprodukt zweier vektoren
"Unter dem Vektorprodukt $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
1.  $\vec{c}$ ist sowohl $\vec{a}$ als auch $\vec{b}$ orthogonal: $\vec{c} \cdot\vec{a}=0$ und $\vec{c} \cdot\vec{b}=0$
2. Der Betrag von $\vec{c}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\varphi$: 
$$
\begin{align}
\mid\vec{c}\mid&=\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \sin \varphi & (0°\leq\varphi\leq 180°)
\end{align}
$$
3. Die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bilden in dieser Reihenfolge einen rechtshändiges System."

**Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren**
Das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
$$
\vec{a}\times\vec{b}=\left(
\begin{array}\\
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)\times
\left(
\begin{array}\\
b_{x} \\
b_{y} \\
b_{z}
\end{array}\right) = \\
\left(\begin{array}\\
a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y} \\
a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z} \\
a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x}
\end{array}\right)
$$
##### Determinantendarstellung eines Vektorproduktes
![[Screenshot 2023-07-15 115056.png]]
Die eine dreireihige Determinante kann nach der *Regel von Sarrus* ermittelt werden. Diese wurde in der Abbildung zum Schluss verwendet.

##### Spatprodukt
Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor $\vec{a}$ und dem aus den Vektoren gebildeten Vektorprodukt Vektorprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ :
$$
[\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\times\vec{c} 
$$
#### Geometrisch Deutung eines Spatproduktes
![[Screenshot 2023-07-15 120529.png]]








Hier sind grundlagen aus dem Abitur, welche nicht erwähnt werden. Darunter sind folgende Beispielthemen:
- Geradendarstellung
- Ebenendarstellung

### Matrizen
#### Transponierung einer Matrix
![[Screenshot 2023-07-15 123157.png]]
Bei Matrizen kommen ansonsten keine neuen Themen dran, daher ist die Grundlage des Abis ausreichend.
#### Multiplaktion zweier Matrizen
![[Pasted image 20230715123337.png]]
Das ist das sogenannte Falk-Schema.

### Determinanten
Beim Durchlesen bekam ich eine Krise, daher mache ich das vllt später.

### Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems
![[Pasted image 20230715130139.png]]
### Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems
![[Pasted image 20230715130100.png]]
### Cramersche Regel
![[Pasted image 20230715130346.png]]
