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Kochrezepte erstellt (erstmal) anhand der Klausuraufgaben. (Bis Aufgabe 3)
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**ACHTUNG: Die Vorgehensweise einiger dieser Kochrezepte entsprechen nur einem Pfad. Es ist durchaus möglich, dass eigentlich zur bearbeitung der Aufgaben eine Baumstruktur vorliegt. :(**
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## Bestimmung des Taylorpolynoms
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### Polynom einer Mehrparameterfunktion
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Kochrezept für das Aufstellen eines Taylor-Polynoms 2.Grades einer Multiparameterfunktion mit 2 Parametern.
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1. $f(x_0,y_0)$ bestimmen
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2. 1. Ableitungmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
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3. Nabla-Operator anhand $f'(x_0,y_0)$ bestimmen
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4. 2. Ableitungsmenge der Funktion $f(x,y)$ bestimmen
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5. Hesse-Form ($\underline{\underline{H}}_f$) anhand der Ableitungsmengen und $x_0, y_0$ bestimmen
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6. Eintragen in den Taylor-Polynom
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$$T_{n,(x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0)+\nabla^T
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\left(\begin{array}{r}
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x-x_0\\
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y-y_0
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\end{array}\right)+\frac{1}{2!}
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\left(\begin{array}{r}
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x-x_0\\
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y-y_0
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\end{array}\right)^T
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\underline{\underline{H}}_f
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\left(\begin{array}{r}
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x-x_0\\
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y-y_0
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\end{array}\right)^T$$
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## Ermittlung der Lage und Art relativer Extremwerte von Funktionen
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1. Notwendige Bedingung
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1. 1. Ableitungsmenge bilden
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2. $\nabla \neq \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
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3. Nullsetzen der 1. Ableitungen und die Lösungsmengen von $x, y$ bestimmen
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4. mögliche Extremastellen anhand der Kombinationen von $x$ und $y$ ermitteln
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2. Hinreichende Bedingung
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1. Aufstellen der Hesse-Form
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2. Einsetzen der möglichen Extremastellen und anhand $h_{f11}$ und der Determinanten die Definitheit bestimmen
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1. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ pos. definit rel. Minimum
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2. $h_{f11} > 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
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3. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f < 0$ indefinit, Sattelpunkt
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4. $h_{f11} < 0, \text{det}\ \underline{\underline{H}}_f > 0$ neg. definit, rel. Maximum
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## Gleichungslösung
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### Fixpunktinteration
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1. Funktion nach $x$ Lösen => $g(x)$
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2. 1. Ableitung bilden und Steigung auswerten
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3. Grenzwertbetrachtung
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4. $|g'(x)|=L$
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5. Aufstellen der Iterationsvorschrift
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6. Ermitteln der Iterationsfolge
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7. Fehlerabschätzung
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$$|x_n-\tilde{x}| = \frac{L}{1-L}|x_n-x_{n-1}|$$
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## Integrationsregeln
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### Potenzregel
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$$\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$$
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### Faktorregel
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$$\int c \cdot f(x)dx = c \cdot \int f(x)dx$$
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### Summenregel
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$$\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$
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### Partielle Integration
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$$\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)$$
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### Integration durch Substitution
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$$\int f(x)dx = \int f(\varphi(u)\cdot \varphi'(u)du$$
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## Fourrier-Reihen
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$$s_n(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(k\omega x) + b_k\cdot \sin(k\omega x))$$
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$$a_0 = \frac{2}{T}\int f(x)dx$$
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$$a_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
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$$b_k = \frac{2}{T}\int f(x)\cdot \sin(k\omega x)dx$$
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- Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist
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- Wenn Fkt. gerade, dann ist $b_k = 0$
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- Wenn Fkt. ungerade, dann ist $a_k = 0$
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- Wenn beides nicht zutrifft müssen $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
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- Bestimmung von $\omega, a_0$
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- Bestimmung von $a_k$ und/oder $b_k$
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- In die Formel einsetzen
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## Kleinste Quadrate Methode
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Benötigte Formeln:
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$$
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\begin{align}
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\underline{\underline{G}}^T\underline{\underline{G}}\underline a = \underline{\underline{G}}^T\underline y && F = (\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a})^T(\underline{y}- \underline{\underline{G}}\underline{a}) \\ \underline{\underline{G}}\underline{a} = \underline{y}
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&& \underline{a} = \underline{(\underline{G}}^T\underline{\underline{G}})^{-1}\underline{\underline{G}}^T\underline{y}
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\end{align}
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$$
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- Überprüfung auf lineare Gleichung $\nabla_{\underline{a}}F(\underline{a}) = \underline{0}$
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- Aufstellen von $\underline{\underline{G}}$ bspl. $\begin{pmatrix}1 &x_0\\1&x_1\end{pmatrix}$
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- Quadrieren und Umkehren von $\underline{\underline{G}}$
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- Gleichung nach $\underline{a}$ lösen und in Geradengleichung $a_0+a_1x$ einsetzen
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## Matrizenoperationen
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### Inverse Matrix
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$$A^{⁻1} = \begin{pmatrix}
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a & b\\
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c & d
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\end{pmatrix}^{-1}
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=
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\frac{1}{\text{det}\ A}\cdot
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\begin{pmatrix}
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d & -b\\
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-c & a
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\end{pmatrix}
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$$ |