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- [[#Grundvorgang|Grundvorgang]]
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- [[#Besprochene Themen|Besprochene Themen]]
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- [[#Durchführung|Durchführung]]
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- [[#Durchführung#Gleichungen|Gleichungen]]
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- [[#Gleichungen#Lineare Gleichungen|Lineare Gleichungen]]
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- [[#Gleichungen#Quadratische Ergänzung|Quadratische Ergänzung]]
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- [[#Gleichungen#Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$|Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$]]
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- [[#Gleichungen#Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$|Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$]]
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- [[#Gleichungen#Gauß-Verfahren|Gauß-Verfahren]]
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- [[#Gleichungen#Äquivalente Umformung|Äquivalente Umformung]]
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- [[#Durchführung#Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems|Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems]]
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- [[#Durchführung#Vektoralgebra|Vektoralgebra]]
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- [[#Vektoralgebra#Definition|Definition]]
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- [[#Vektoralgebra#Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren|Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren]]
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- [[#Vektoralgebra#Vektoroperationen|Vektoroperationen]]
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- [[#Vektoroperationen#Skalarprodukt|Skalarprodukt]]
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- [[#Vektoroperationen#Winkel zwischen zwei Vektoren|Winkel zwischen zwei Vektoren]]
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- [[#Vektoralgebra#Vektornormierung|Vektornormierung]]
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- [[#Vektoralgebra#Vektorprojektion|Vektorprojektion]]
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# Klausurvorbereitung
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Ziel der Vorbereitung ist nicht die Vollständigkeit abzudecken, sondern eher alle Themen kurz anzusprechen und später erneut zu vertiefen.
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## Grundvorgang
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- Vorlesungen kurz ansehen und Aufgaben gruppiert machen
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- Bei Bedarf mehr als 2-3 Aufgaben pro Thema abarbeiten (Solle mögl. sein, da das Aufgabenheft zur Verfügung steht)
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- (Vertiefung) Lesen der einzelnen neuen Kapitel, welche nicht beim Abitur drankamen (am besten aus anderen Büchern)
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- Beispielklausur noch einmal Durcharbeiten, dieses Mal aber mit einer Zeitlimitierung
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## Besprochene Themen
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Folgende Liste kann unvollständig sein. Behalten Sie dies im Hinterkopf.
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- Gleichungen
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- Linear
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- Quadratische
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- PQ
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- 🔥Exponentielle und größere
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- Kubische Gleichungen vom speziellen Typ
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- Biquadratische Gleichungen
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- Lineare Gleichungen
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- Lineare Gleichungssysteme
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- Einführendes Beispiel
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- 🔥Gauß-Algorithmus
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- Matrizendarstellung eines linearen Gleichungssystem
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- Äquivalente Umformung eines lin. Gleichungssystems
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- Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß
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- Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
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- Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
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- 🔥Reele Matrizen
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- Definition
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- 🔥Transposition von Matrizen
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- 🔥Spezielle Matrizen
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- Diagonalmatrix
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- Einheitsmatrix
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- Dreiecksmatrix
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- Symmetrische Matrix
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- Gleichheit von Matrizen
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- Rechenoperationen
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- Addition/Subtraktion
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- Multiplikation mit einem Skalar
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- Multiplikation zweier Matrizen
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- Falk-Schema
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- 🔥Determinanten
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- Zweireihige Determinanten
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- Multiplikationstheorem
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- Dreireihige Determinanten
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- Regel von Sarrus
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- Laplascescher Entwicklungssatz
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- 🔥Lösungsverhalten quad. lin. Gleichungssystem
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- Inhomogen lineares System
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- Cramersche Regel
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- 🔥Trigonomische Funktionen
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- Grundbegriffe
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- Definition
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- Winkelmaße
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- Drehsinn eines Winkels
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- Darstellung der Sinusfunktion im Einheitskreis
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- Darstellung der Kosinusfunktion im Einheitskreis
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- Sinus- und Kosinusfunktion
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- Tangens- und Kotangensfunktion
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- Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
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- Anwendung in der Schwingungslehre
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- Harmonische Schwingungen (Sinus)
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- Harmonische Schwingung eines Federpendels
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- Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
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- 🔥Arkusfunktionen
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- Das Problem der Umkehrung trigo. Funktionen
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- Arkussinusfunktion
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- Arkuskosinusfunktion
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- Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
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- Trigonometrische Gleichungen
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- Exponentialfunktionen
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- Grundbegriffe
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- Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
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- Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktion
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- Logarithmusfunktionen
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- Grundbegriffe
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- Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
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- Exponential- und Logarithmusgleichungen
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- 🔥Komplexe Zahlen und Funktionen
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- Algebraische oder Kartesische Form
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- Polarformen
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- Trigonometrische Form
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- Exponentialform
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- Eulersche Form
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- Umrechnung zwischen Darstellungsformen
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- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
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- Multiplikation kompl. Zahlen
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- 🔥Radizieren
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- Definition
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- Fundamentalsatz der Algebra
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## Durchführung
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### Gleichungen
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#### Lineare Gleichungen
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- Einsetzungsverfahren
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- Gleichsetzungsverfahren
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- Additionsverfahren
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#### Quadratische Ergänzung
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Anhand der binomischen Formeln kann man eine quadratische Ergänzung durchführen. Es entsteht am Ende ein "quadriertes Binom".
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Beispiel:
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$$
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\begin{align}
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f(x)&=3x^2+6x+7 = 0\\
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f(x)&=x^2+2x+\frac{7}{3} = 0 |-6\\
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f(x)&=(x+1)^2 = -6
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\end{align}
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$$
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#### Kubische Gleichungen vom Typ $ax^3+bx^2+cx=0$
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Bei kubischen Gleichungen, in denen das absolute Glied fehlt, lässt sich durch Ausklammern eine lineare und eine quadratische Gleichung erhalten.
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#### Biquadratische Gleichungen $ax^4+bx^2+c=0$
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Über Substitution kann man solche Gleichungen lösen.
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Beispiel:
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$$
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\begin{align}
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x^4-10x^2+9=0 \\
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\text{Substitution } u&=x^2 \\
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u^2-10u+9=0&\Rightarrow u_{1}{2}=5\pm4&\Rightarrow &u_{1}=9,&u_{2}=1 \\
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\text{Rücksubstitution mittels } x^2=u: \\
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x^2=U_{1}&=9&\Rightarrow&x_{1/2}&=\pm{3} \\
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x^2=U_{2}&=9&\Rightarrow&x_{3/4}&=\pm{1}
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\end{align}
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$$
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Die resultierende Lösungsmenge soll natürlich anschließend dokumentiert werden, da die Form jedoch selbsterklärend ist wird diese hier nicht gegeben.
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#### Gauß-Verfahren
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Gegeben sind folgende Gleichungen:
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$$
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\begin{align*}
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I && -x+y+z =0\\
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II && -2y-z=5\\
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III &&6y+9z=3&&|3\cdot II+III\\
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\hline\\
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I && -x+y+z=0\\
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|
II && -2y-z=5\\
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III && 6z=18&\Leftrightarrow z=3\\
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|
\dots \\
|
|
\hline\\
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x=-1 && y=-4 &&z=3
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\end{align*}
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$$
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Diese Lösungsform kann ebenfalls als Matrize erscheinen und über Befehle, wie rref gelöst werden.
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#### Äquivalente Umformung
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Unter der "Äquivalenten Umformung" versteht man das Vorher besprochene Beispiel, in dem Gleichungen umgeformt werden um diese dann anschließend zu Lösen.
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### Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems
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*inhomogene* Gleichungssysteme besitzen entweder genau eine Lösung, oder *unendlich* viele Lösungen oder aber *überhaupt* keine Lösungen.
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Erkennbar sind solche GS anhand mehrerer Gleichungen mit z.B. dem Fakt dass eine Gleichung das vielfache einer anderen Gleichung sei.
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Ein *homogenes* Gleichungssystem ist stets lösbar die Grundstruktur von diesem ist bekannt, da vorherige Beispiele immer homogen gewesen waren.![[Screenshot 2023-07-14 162823.png]]
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Wenn ein *inhomogenes* Gleichungssystem vorliegt, wird anhand des Hinzufügens des Skalars $\lambda$ eine potentielle Lösung für das *inhomogene* GS mit unendlich vielen Lösungen erstellt. Eine Lösung würde wie folgt aussehen:
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$$
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\begin{align}
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x+y-2z=0&&\Rightarrow&& x=2\lambda&&\uparrow \\
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y+0z=0&&\Rightarrow&&y=0&&\uparrow \\
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0z=0&&\Rightarrow&&z=\lambda&&(\lambda\in\mathbb{R})
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|
\end{align}
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$$
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Das Anwendungsbeispiel kann man sich gut als Gruppe ansehen.
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___
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### Vektoralgebra
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#### Definition
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"Während man unter einem *Skalar* eine Größe versteht, die sich eindeutig durch eine Angabe einer *Maßzahl* und einer *Maßeinheit* beschreiben lässt, benötigt man bei einer *vektoriellen* Größe zusätzlich noch angaben über die Richtung, in der sie wirkt."
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#### Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren
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- Parallel: $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$
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- Antiparallel: $\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$
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- Kollinear: $\lambda\cdot\vec{a}=\vec{b}$
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#### Vektoroperationen
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Bei der Addition zweier Vektoren gelten sowohl das Kommutativ-, als auch das Assoziativgesetz.
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Die Subtraktion erfolgt nach dem gleichen Prinzip, nur dass man den gegenVektor addiert. Man bildet den sogenannten *Differenzvektor*.
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Die Multiplikation eines Vektors über einen Skalar erfolgt folgendermaßen:
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$$
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\lambda\cdot\vec{a} = \left(
|
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\begin{array}{c}
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|
\lambda\cdot a_{x} \\
|
|
\lambda \cdot a_{y} \\
|
|
\lambda \cdot a_{z}
|
|
\end{array}\right)
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|
$$
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Um eine Vektorlänge zu erhalten benutzt man folgenden Vorgang:
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$$
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\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{P_{1}P_{2}\dots P_{n}}\mid =\sqrt{P_{1}^2+P_{2}^2+\dots P_{n}}
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$$
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##### Skalarprodukt
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"Unter dem *Skalarprodukt* $\vec{a}\cdot\vec{b}$ zweier Vektoren wird das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ verstanden."
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- Bei Orthogonalität ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich **0** $\vec{a}\bot\vec{b}$
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- Sind zwei Vektoren parallel, so ist leifert das Skalarprodukt den Wert **1**
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$$
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\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(
|
|
\begin{array}\\
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|
a_{x} \\
|
|
a_{y} \\
|
|
a_{z}
|
|
\end{array}
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array} \\
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|
b_{x} \\
|
|
b_{y} \\
|
|
b_{z}
|
|
\end{array}\right) = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}
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$$
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|
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|
##### Winkel zwischen zwei Vektoren
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Mit folgender Formel lässt sich der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren ermitteln.
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$$
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\cos \varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot \mid\vec{b}\mid}
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|
$$
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ANWENDUNGSBEISPIEL: 2.5 vom 05.05.2023
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#### Vektornormierung
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"Durch *Normierung* erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor $\vec{a}$ einen *Einheitsvektor gleicher Richtung*"
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$$\vec{e_{a}}=\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$$
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#### Vektorprojektion
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Bei der Projektion eines Vektors teilt man einen Vektor beispielsweise in eine Tangential- und eine Normalkomponente.
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"Durch Projektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ entsteht der Vektor
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$$
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\vec{b_{a}}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid^2}
|
|
\right)\vec{a} = (\vec{e_{a}}\cdot\vec{b})\vec{e_{a}}
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|
$$
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|
Er wird als *Komponente* des Vektors $\vec{b}$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ bezeichnet."
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#### Vektorprodukt zweier vektoren
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"Unter dem Vektorprodukt $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
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1. $\vec{c}$ ist sowohl $\vec{a}$ als auch $\vec{b}$ orthogonal: $\vec{c} \cdot\vec{a}=0$ und $\vec{c} \cdot\vec{b}=0$
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2. Der Betrag von $\vec{c}$ ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels $\varphi$:
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$$
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\begin{align}
|
|
\mid\vec{c}\mid&=\mid\vec{a}\mid \cdot \mid\vec{b}\mid \cdot \sin \varphi & (0°\leq\varphi\leq 180°)
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|
\end{align}
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|
$$
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|
3. Die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bilden in dieser Reihenfolge einen rechtshändiges System."
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**Berechnung eines Vektorproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren**
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Das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ zweier Vektoren lässt sich aus den skalaren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen:
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$$
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\vec{a}\times\vec{b}=\left(
|
|
\begin{array}\\
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|
a_{x} \\
|
|
a_{y} \\
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|
a_{z}
|
|
\end{array}\right)\times
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\left(
|
|
\begin{array}\\
|
|
b_{x} \\
|
|
b_{y} \\
|
|
b_{z}
|
|
\end{array}\right) = \\
|
|
\left(\begin{array}\\
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|
a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y} \\
|
|
a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z} \\
|
|
a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x}
|
|
\end{array}\right)
|
|
$$
|
|
##### Determinantendarstellung eines Vektorproduktes
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![[Screenshot 2023-07-15 115056.png]]
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Die eine dreireihige Determinante kann nach der *Regel von Sarrus* ermittelt werden. Diese wurde in der Abbildung zum Schluss verwendet.
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|
##### Spatprodukt
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Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren versteht man das skalare Produkt aus dem Vektor $\vec{a}$ und dem aus den Vektoren gebildeten Vektorprodukt Vektorprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ :
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$$
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|
[\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \vec{a}\ \cdot\ \vec{b}\times\vec{c}
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$$
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|
#### Geometrisch Deutung eines Spatproduktes
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![[Screenshot 2023-07-15 120529.png]]
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Hier sind grundlagen aus dem Abitur, welche nicht erwähnt werden. Darunter sind folgende Beispielthemen:
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- Geradendarstellung
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- Ebenendarstellung
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### Matrizen
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#### Transponierung einer Matrix
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![[Screenshot 2023-07-15 123157.png]]
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Bei Matrizen kommen ansonsten keine neuen Themen dran, daher ist die Grundlage des Abis ausreichend.
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#### Multiplaktion zweier Matrizen
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![[Pasted image 20230715123337.png]]
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Das ist das sogenannte Falk-Schema.
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### Determinanten
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Beim Durchlesen bekam ich eine Krise, daher mache ich das vllt später.
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### Kriterien für die Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Systems
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![[Pasted image 20230715130139.png]]
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### Kriterien für die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems
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![[Pasted image 20230715130100.png]]
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### Cramersche Regel
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![[Pasted image 20230715130346.png]]
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